بعض المتراجحات المتعلقة بأثر المصفوفات المعرفة بشكل موجب

الملخص

#إن هذا البحث هو استمرار للبحث الذي قام به R. Bellman  حول المتراجحات Positive definite ( المصفوفات المعرفة بشكل موجب (Trace ( المتعلقة بأثر matrices ) ، المشابهة للمتراجحات المألوفة إن جميع المصفوفات المعتبرة في هذا البحث هي مصفوفات مربعة ( Square matrices ) من المرتبة nxn وعناصرها أعداد حقيقية . تستخدم الرموز ، ) Trace ( 1/2 للدلالة على الأثر, A2, A-1, At, tr(A( المنقول ( Transpose ) ، المقلوب ) Inverse ) ، المربع ( Square ) والجذر التربيعي ( Square root ) على الترتيب للمصفوفة A . ويدل الرمز In على المصفوفة الواحدية ( Identity matrix ) من المرتبة nxn . إذا كانت A مصفوفة معرفة بشكل موجب فنعبر عن ذلك بالرمز 0 A . من المعلوم أن المصفوفة A تكون معرفة موجبة ، وهذا يكافئ وجود مصفوفة غير شاذة S ( non-singular بحيث يكون A = SS1. في الفقرة ٤ . تحت عنوان ( Theorem ) تقع النتيجة الأساسية لهذا البحث . أما الفقرة ٣ ( Lemma ) فتتضمن إثباتات لبعض المتراجحات التي استخدمت في برهان النتيجة الأساسية. في الفقرة 5 ندون متراجحتين لأثر المصفوفات المعرفة بشكل موجب المشابهة لتلك الكائنة بين الوسط الحسابي ، الوسط الهندسي والوسط التوافقي للأعداد الموجبة . وأخير في الفقرة ٦ وبالاعتماد على (1) و (11) من ( Lemma ) نستنتج متراجحة تبين لنا أن أثر مربع مجموع مصفوفتين معرفين بشكل موجب أصغر أو يساوي مربع مجموع أثريهما . بشكل موجب إذا وفقط إذا كانت جميع جذورها المميزة ( Characteristic roots )